Otras geometrías

Geometrías no euclidianas

   Esta geometría surge gracias al trabajo de varios matemáticos que trataron de probar de probar la validez del quinto postulado de Euclides el cual es enunciado por Playfair de la siguiente manera “Por un punto exterior a una recta es posible trazar una y solo una paralela a la recta dada” (Ramírez y Sienra, s. f., p. 13). 

Timur. (2004). Es Dios un Metemático? Mario Livio 2009 Capitulo VI Geómetras: El shock del futuro. [imagen].Recuperado de http://apuntes-dematematicas.blogspot.com/2014/01/es-dios-un-matematico-mario-livio-2009_540.html

   Un matemático que trato de demostrar la validez del postulado de Euclides es Saccheri quien construyó un cuadrilátero ABCD con AC=BD, tomando los ángulos A y B rectos, considero dos alternativas contrarias que C, D fueran obtusos en donde logró llegar a una contradicción o que fueran agudos en este caso lo consideró contradictorio porque iba en contra de la naturaleza de las rectas. (Ruiz, 1999).

Schmidt, S. (s. f.). Surgimiento de las geometrías no euclideanas. [imagen]. Recumerado de http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/GeometriaInteractiva/GEOMETRIA_Sandra_Schmidt/Capitulo1/node3.htm

   Estas demostraciones eran por reducción al absurdo, sin embargo la contradicción que se esperada no se dio "en su lugar, en el tratamiento que cada uno hizo, aparecieron varios de los resultados, sorprendentes entonces, que ahora son parte de esta nueva rama de la Geometría" ( p. 42). Es así que al tratar las negaciones del postulado de Euclides y trabajarlas de manera independiente surgen las llamadas geometrías no euclidianas las cuales son válidas así como lo es la geometría euclidiana, fue en el siglo XIX cuando se comenzaron a desarrollar estos resultados (Ruiz, 1999).

  La existencia de esta nuevas geometrías surgen de la negación del quinto postulado es así que si suponemos que dada una recta y un punto exterior a ella no existe ninguna recta paralela a ella, estamos ante la geometría esférica, y si suponemos que existen al menos dos rectas parelelas, estaremos ante la geometría hiperbólica.

Geometría hiperbólica

   Esta geometría es producto del trabajo de Gauss, Lobachevsky y János Bolyai. Según Ruiz (1999) "La geometría que desarrollaron asumió que por un punto exterior a una recta pasan un número infinito de rectas paralelas a la dada (...). Esto se derivaba de la hipótesis del ángulo agudo de Saccheri." (p. 66).       

Wikipedia.(2005). File: Hyperbolic.jpg [Imagen].Recuperado dehttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d5/Hyperbolic.jpg

Geometría esférica

   Ruiz (1999) menciona que "Riemann contribuyó directamente a la generación de nuevas geometrías de una forma muy amplia.Una recta esférica es un círculo grande. No posee principio ni fin. Es ilimitada, pero no es infinita."(p. 72). Es así como él "en lugar de asumir que existe un número infinito de rectas paralelas que pasan por un punto exterior a una recta dada, asumió que no pasaba ninguna." (Ruiz, 1999, p. 72).

 Matemáquinas. (2011). Geometría esférica [imagen]. Recuperado de http://mate-maquinas.blogspot.com/2011/12/geometria-esferica.html

          

Geometría analítica

   Se considera a René Descartes el padre de la geometría analítica, esta "surge de la necesidad de resolver problemas para los que no bastaba la aplicación aislada de las herramientas del álgebra y de la geometría euclidiana, pero cuya solución se encontraba en el usa combinado de ambas". (Introducción, s. f., p. 17)

   Podemos entenderla como "la parte de las matemáticas que relaciona y fusiona el álgebra con la geometría euclidiana para crear una nueva rama que estudia las figuras geométricas, referidas a un sistema de coordenadas, por métodos algebraicos". (Introducción, s. f.,p. 17)

   Descartes "en su geometría analítica de 1637, considera el segmento como una unidad o como un número 

y transforma así la geometría en aritmética; como la suma, la resta, la multiplicación y la división de segmentos da lugar a otro segmento" (Introducción, s. f.,p. 17). 

   Además "Descartes y Fermat son los inventores de la geometría sobre ejes de coordenadas, donde el álgebra y la geometría sé reúnen en el trazado de gráficas de ecuaciones y desigualdades" (Introducción, s. f.,p. 17)

Wikipedia. (s. .f.). Circunfenrencia [imagen] .Recuperado de http://www.cecytebc.edu.mx/HD/archivos/antologias/geometria_analitica.pdf

Geometría descriptiva

   Esta fue desarrollada a finales del siglo XVII por el matemático Gaspar Monge, además según Narváez y Monzón "es la ciencia del dibujo que trata de la representación exacta de objetos compuestos de formas geométricas y la solución gráfica de problemas que implican  las relaciones  de esas  formas en el espacio". (s. f., p. 11).

La verdadera magnitud (s. f.). Geometría descriptiva [imagen]. Recuperado de http://laverdaderamagnitud.wordpress.com/dibujo-tecnico/geometria-descriptiva/

Geometría proyectiva

  Surge por los artistas renacentistas los cuales "tenían que comprender  cómo se pueden  representar escenas tridimensionales en lienzos, que son bidimensionales"  (Girondo, 2009, p. 141)
   
   Es por ello que "lo que pinta el artista es el resultado de 'proyectar' la escena sobre un plano (el lienzo) situado entre la escena y el ojo, usando como centro de proyección el ojo". (Girondo, 2009, p. 141)   
    
La geometría proyectiva es aquella que trata  las propiedades que se conservan bajo proyecciones. Tiene aplicaciones en visión artificial, funcionamiento de cámaras, reconstrucción de imágenes bidimensionales en tres dimensiones etc... Es la geometría asociada al modo  en que el ojo humano  percibe el mundo. (Girondo, 2009, p. 141).

Martínez, L. Marín, L. Martinez, P. Paredes, S. y Sangerman, V. (2011). Glosario de dibujo constructivo II [Imagen]. Recuperado de http://dibujoconstructivo651.blogspot.com/

   Además de estás geometrías es posible encontrar otras como lo es la geometría absoluta, la afín, la euclidiana (que no se trato en este apartado), la parabólica, circular entre otras.

Referencias bibliográficas
Girondo, E. (2009). Geometría proyectiva. Recuperado de http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/egirondo/docencia/Notas%20de%20Geo%20I-Parte%20III.pdf
Introducción a la geometría analítica. (s. f.). Antecedentes históricos de la geometría analítica. Recuperado de http://www.cecytebc.edu.mx/HD/archivos/antologias/geometria_analitica.pdf
La verdadera magnitud (s. f.). Geometría descriptiva. Recuperado de http://laverdaderamagnitud.wordpress.com/dibujo-tecnico/geometria-descriptiva/

Martínez, L. Marín, L. Martinez, P. Paredes, S. y Sangerman, V. (2011). Glosario de dibujo constructivo II . Recuperado de http://dibujoconstructivo651.blogspot.com/

Matemáquinas. (2011). Geometría esférica [imagen]. Recuperado de http://mate-maquinas.blogspot.com/2011/12/geometria-esferica.html

Narváez, V. y Monzón, J. . (s. f.) Geometría descriptiva. Recuperado de http://aulavirtual.utp.edu.pe/file/20102/IT/R3/02/I129/20102ITR302I129T027.pdf
Timur. (2004). Es Dios un Metemático? Mario Livio 2009 Capitulo VI Geómetras: El shock del futuro .Recuperado de http://apuntes-dematematicas.blogspot.com/2014/01/es-dios-un-matematico-mario-livio-2009_540.html

Ruiz, A. (1999). Geometrías no euclidianas. Breve historia de una gran revolución industrial. Recuperado de http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Geometrias%20No%20euclidianas.pdf

Schmidt, S. (s. f.). Surgimiento de las geometrías no euclideanas. Recumerado de http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/GeometriaInteractiva/GEOMETRIA_Sandra_Schmidt/Capitulo1/node3.htm

Wikipedia.(2005). File: Hyperbolic.jpg .Recuperado de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hyperbolic.jpg
Wikipedia. (s. .f.). Circunfenrencia. Recuperado de http://www.cecytebc.edu.mx/HD/archivos/antologias/geometria_analitica.pdf

Álgebra

Álgebra Abstracta

En el siglo XIX se dan muchas aportaciones en el área del álgebra como las realizadas por “Abel y Galois sobre la resolución de ecuaciones algebraicas en radicales” (Jiménez, s.f., p. 2 ). Estos matemáticos suscitaron conceptos generales abstractos como lo es concepto de grupo, lo cual generó el Álgebra moderna también llamada algebra abstracta. (Jiménez, s.f.).

             Es en este siglo que se genera un movimiento por partes de varios matemáticos con la finalidad de otorgar al álgebra un sistema axiomático, lo cual “propició el surgimiento de  una multitud de nuevas estructuras y teorías algebraicas que revolucionaron las viejas concepciones y marcaron el camino a seguir para los desarrollos futuros del algebra moderna” (Dávila, 2002, p.5).  

Los desarrollos del álgebra moderna que surgen “del álgebra simbólica en Inglaterra… logran un triunfo significativo con la labor de axiomatización del álgebra por parte de la escuela alemana en el siglo XX” (Dávila, 2002, p.6). Además Dávila señala que durante este periodo “se marcan las tendencias modernas del desarrollo algebraico, las cuales se centran en una idea fundamental: el concepto de operación o ley de composición”  (2002, p.6).

Jiménez (s.f.) menciona además que el álgebra abstracta es “un campo extraordinariamente amplio y ramificado en el que se recogen un gran número de disciplinas científicas e independientes cuyo objeto común son las operaciones algebraicas, las cuales representan abstracciones lejanas de las operaciones del álgebra elemental” (P. 2).

Esta definición que nos da Jiménez es producto de un proceso de trabajo de varios matemáticos y de grandes avances que se dan el área de álgebra producto de varios siglos de trabajo, pero que tienen mayor desarrollo en los siglos XIX y XX.

  

Abelgalois. (s. f.). Abel y Balois [imagen]. Recuperado de http://abelgalois.files.wordpress.com/2010/07/n-h-abel.jpg

Abelgalois. (s. f.). Abel y Balois [imagen]. Recuperado de http://abelgalois.files.wordpress.com/2010/07/evariste-galois.jpg

          Las imágenes anteriores corresponden a Abel y Balois respectivamente.

Álgebra lineal

Iranzo y Pérez mencionan que “el Algebra Lineal estudia la estructura de los espacios vectoriales y las aplicaciones lineales entre ellos” (s. f., p. 3).

Introducción al álgebra lineal. (2009). Introducción al álgebra lineal [imagen]. Recuperado de http://cvb.ehu.es/open_course_ware/castellano/experimentales/algebra/Course_listing.html

       Así como muestra la imagen anterior el álgebra lineal aborda temas como sistema de ecuaciones lineales, matrices, determinantes, espacios vectoriales entre otros.

          Luzardo y Peña (2006) nos dicen que “los primeros rudimentos de lo que hoy conocemos como Algebra lineal  se han encontrado en el documento matemático más antiguo que ha llegado hasta nuestros días: el papiro Rhind”. (p. 155). Acá encontramos las ecuaciones de primer grado, posteriormente los babilonios resolvieron problemas que involucraban ecuaciones de primer y segundo grado.  El álgebra lineal tuvo un fuerte impulso gracias al estudio de los sistemas de ecuaciones que fue desarrollado en forma más profunda por otros matemáticos. (Luzardo y Peña, 2006)

Es a finales del siglo XVII que se retoman los trabajos de los babilónicos y los chinos, en el siglo XVIII surgen las nociones de vectos y campo vectorial introducidas por Hamilton, Cayley y Grassmann, también surgen las nociones de independencia lineal y dimensión de un espacio vectorial. (Luzardo y Peña, 2006).  

Esto solo por mencionar algunos desarrollos que se dieron dado que el álgebra lineal abarca diversos temas.

Otras álgebras

Luego de la axiomatización  del álgebra en la llamada álgebra abstracta permitieron que se estudiaran muchas más estructuras y por ende de diera gran avance en dicha área, lo cual también generó que surgieran nuevas áreas como "las álgebras y grupos de Lie, la teoría de categorías, el álgebra homológica" (Peña, 2000, p. 55). También está el álgebra conmutativa, la booleana y así muchas otras que se desprenden del álgebra abstracta. Es por ello que considero que el álgebra moderna al ser la base teórica da origen o fundamento a las demás álgebras.

Referencias bibliográficas

Abelgalois. (s. f.). Abel y Balois. Recuperado dehttp://abelgalois.wordpress.com/abel-y-galois/

Dávila, G. (2002). El desarrollo del álgebra moderna. Apuntes de Historia de las Matemáticas, 1 (3). Recuperado de http://euler.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/1-3-1-algebra.pdf

Iranzo, M. y Pérez, F. (s. f.). Álgebra lineal. Recuperado de http://www.uv.es/~iranzo/AlgebraLineal.pdf   

Jiménez, N. (s. f.). La madre del álgebra moderna: Emmy Noether. Recuperado de http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Emmy%20Noether.pdf

Luzardo,  D. y Peña, A.  (2006). Historia del Algebra Lineal hasta los Albores del Siglo XX. Divulgaciones matemáticas, 14 (2). Recuperado de http://www.emis.de/journals/DM/v14-2/art6.pdf 
Peña, J. (2000). El álgebra en el siglo XX. Miscelánea matemática, 32. Recuperado de http://www.miscelaneamatematica.org/Misc32/JoseAntonio.pdf 

Los Tres Problemas Clásicos de la Antigüedad

   En el siglo V comenzó a circular por Grecia unos problemas que llamaron la atención de los matemáticos de la época, dentro de estos problemas hubo tres que interesaron durante mayor tiempo: el problema de la cuadratura del círculo, el de la trisección del ángulo, y el de la duplicidad del cuadrado. (Fernández, 1999)

   Estos debían  resolverse haciendo uso solamente de regla y compás, Fernández nos muestra los enunciados de los tres problemas:

1. Dado un cubo cualquiera, construir otro cubo de volumen el doble del anterior: duplicación del  cubo.

Fernández, S. (1999). Los tres problemas clásicos [imagen]. Recuperado de http://rsme.es/rec/pgt9899.pdf#page=88

2.Dado un ángulo cualquiera, construir un ángulo que sea la tercera parte del ángulo dado: trisección del ángulo.

Fernández, S. (1999). Los tres problemas clásicos [imagen]. Recuperado de http://rsme.es/rec/pgt9899.pdf#page=88

3. Dado un círculo cualquiera, construir un cuadrado que tenga el [sic] mismo área que el círculo: cuadratura del círculo.

Fernández, S. (1999). Los tres problemas clásicos [imagen]. Recuperado de http://rsme.es/rec/pgt9899.pdf#page=88

(1999, p. 82).

   Ninguno de estos problemas es posible resolverlo haciendo uso solamente de la regla y el compás.

   En el problema de la cuadratura del cuadrado fue el matemático alemán Lindenman quien demostró que no era posible resolverlo mediante regla y compás. Aunque posteriormente Lambert y Legendre demostraran que pi y pi al cuadrado era irracionales, esto aún no daba solución a este problema. Fue hasta 1882 que Lindenman encontró su solución en uno de sus artículos. (Mora, s. f.)

   El problema de la trisección es posible resolverlo con la espiral de Arquímedes, como se muestra en la siguiente figura. (Navarro, 2012)

Navarro, J. (2012). Los tres problemas griegos: La trisección del ángulo [imagen]. Recuperado de http://eulerianos.com/wp-content/uploads/triseccion.jpg

   El intento de resolver el problema de la duplicación del cubo, desembocó "a la aparición de nuevas y útiles herramientas matemáticas" como lo son la sección cónicas, descubrimiento de los incomensurables y el método de exahusción, para aproximar el número pi. (Mora, s. f. p.6).

    El reto que estos problemas trajo a los matemáticos, llevo a un proceso que desembocó a demostrar que no era posible su construcción por el método solicitado, llevándolos a buscar la solución de estos problemas, lo cual hizo que además desarrollaran otras aportaciones matemáticas.

Referencia bibliográfica

• Fernández, S. (1999). Los tres problemas clásicos. Recuperado de http://rsme.es/rec/pgt9899.pdf#page=88
• Mora, J. (s. f.). Problema de la duplicación del cubo. Recuperado de http://matematicas.uclm.es/ita-cr/web_matematicas/trabajos/257/Duplicacion_cubo.pdf
• Navarro, J. (2012). Los tres problemas griegos: La trisección del ángulo. Recuperado de http://eulerianos.com/los-tres-problemas-griegos-la-triseccion-del-angulo/

Sección Áurea

   La sección áurea es también conocida como razón áurea, divina proporción o número de oro. Euclides menciona que es la "división armónica de un segmento cualquiera en una media y extrema razón. Es decir que el segmento menor es al mayor como este es a la totalidad" (Uribe, 2008, p. 92).

   Esto lo podemos comprender mejor a través de una imagen.

Chordá, C. (2012). La ciencia es bella [imagen]. Recuperado de https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIfhxDmNyEuV7afIMKzZS2Y4rIPUzX7g-6zAjjVK8X4zmq3oiQXFPLwNjhEDPskt6cYIyWW6CMWcFB6NyoyPoZfmVf-SMqR2ZdWMoiulWhHWqKIhr9kaR4VRlL6TXY7S1A118QCZXqtDo/s1600/n%C3%BAmero+%C3%A1ureo.jpg

   El dibujo anterior nos muestra las proporciones que nos decía Euclides, y nos muestra que estas dan como resultado el número áureo. Para conocer este número es necesario resolver dicha ecuación.

Estefy S. (2013). Leer y aprender juntos [imagen]. Recuperado de https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjc_OA_i2lrpUOaN2hmaqdEgzrmz5-8DJRXRBMvKBCpahhs9Zl1qY0z55qcwXvey7nNZOD01wT5KxpK_K7YqFnjUYkb2iDza4y-X-dZdlchVR5kwZnffMF76urImJf9SAjkptOceoMeYvFZ/s1600/numero-phi.jpg

   La cual al resolverla da como resultado el número fi =1,618033... , el cual es un número irracional.

   Esta proporción es utilizada desde la antigüedad de allí su nombre "divina proporción", era utilizada en los templos, el más famoso es el Partenon, cuyo escultor Fidias la utilizó en el diseño de la estructura, además fue usado en el Antiguo Egipto en la construcción de las pirámides (Uribe, 2008).

Sara, Cristina, Paula y María. (s. f.). Número áureo [imagen]. Recuperado de http://media1.webgarden.es/images/media1:4aca2cf81da43.jpg/ceres1dd.JPG 

   Además es usada en el Renacimiento al definir las proporciones en las pinturas, tal es caso de Leonardo Da Vinci en 'La Última Cena', "donde le sirve para diseñar las dimensiones de la mesa, la disposición de Cristo y de los discípulos sentados, así como el balance de las proporciones en las paredes y las ventanas del fondo" (Uribe, 2008, p. 93). También es posible encontrar esta razón en el 'Hombre de Vitruvio' y en  'la Gioconda'., asimismo otros artistas que hicieron uso de esta proporción en sus obras son: Diego de Velazquez, Alberto Durero, Miguel Angel, Salvador Dalí, entre otros.

López, F. y Fernández F. ( s. f.).  Matemáticas con mucho arte: Edad Media y Moderna [imagen]. Recuperado de http://wordpress.colegio-arcangel.com/matematicas2/files/2012/10/La-%C3%9ALTIM-CENA-DE-DA-VINCI1.jpg

   Esta proporción aparece además en edificios, esculturas, objetos y también en estructuras anatómicas de nuestro cuerpo, asimismo donde es posible observarla es en la naturaleza "las magnitudes áureas que se esconden en la secuencia de Fibonacci tienen un solo objetivo: Conferir una enorme estabilidad a las estructuras que forman y darles perfección en función" (Uribe, 2008, p. 94).

Olmedo, M. (2013). El número de Dios [imagen]. Recuperado de https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEryOctHzJ658rau8Gj8CVE8SAJX6nIM7h6LAV8KsGeVOmcL_80lL2I50iBL89wtUwkuVN7GK3mPQf8PRoucWuk7arAMhGKJnI0lCIDYqlMo9gdWdtAqU5HP2ZBLl8C93ywcyUzqTVkUf7/s1600/picbig_design1.png

   El dibujo anterior nos muestra que además es usado en la construcción de instrumentos musicales tal es el caso de Antonio Stradivarius que utilizó esta proporción en la creación de los famosos violines Stradivarius. Es así como podemos ver que la divina proporción es símbolo de belleza, y perfección, presente en nuestra vida cotidiana y para que no la ignoremos presente también la naturaleza, esto nos incluye a nosotros como seres vivos, ya que en nosotros está presente esta proporción. 

Referencias Bibliográficas

• Chordá, C. (2012). La ciencia es bella. Recuperado de https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIfhxDmNyEuV7afIMKzZS2Y4rIPUzX7g-6zAjjVK8X4zmq3oiQXFPLwNjhEDPskt6cYIyWW6CMWcFB6NyoyPoZfmVf-SMqR2ZdWMoiulWhHWqKIhr9kaR4VRlL6TXY7S1A118QCZXqtDo/s1600/n%C3%BAmero+%C3%A1ureo.jpg
• Estefy S. (2013). Leer y aprender juntos. Recuperado de https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjc_OA_i2lrpUOaN2hmaqdEgzrmz5-8DJRXRBMvKBCpahhs9Zl1qY0z55qcwXvey7nNZOD01wT5KxpK_K7YqFnjUYkb2iDza4y-X-dZdlchVR5kwZnffMF76urImJf9SAjkptOceoMeYvFZ/s1600/numero-phi.jpg.
• López, F. y Fernández F. ( s. f.).  Matemáticas con mucho arte: Edad Media y Moderna [imagen]. Recuperado de http://wordpress.colegio-arcangel.com/matematicas2/files/2012/10/La-%C3%9ALTIM-CENA-DE-DA-VINCI1.jpg
• Olmedo, M. (2013). El número de Dios. Recuperado de https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEryOctHzJ658rau8Gj8CVE8SAJX6nIM7h6LAV8KsGeVOmcL_80lL2I50iBL89wtUwkuVN7GK3mPQf8PRoucWuk7arAMhGKJnI0lCIDYqlMo9gdWdtAqU5HP2ZBLl8C93ywcyUzqTVkUf7/s1600/picbig_design1.png
• Sara, Cristina, Paula y María. (s. f.). Número áureo. Recuperado de http://media1.webgarden.es/images/media1:4aca2cf81da43.jpg/ceres1dd.JPG 
• Uribe, J. (2008). El pene áureo. Revista Urología Colombiana, XVII (1). pp. 91-100. Recuperado de http://www.urologiacolombiana.com/revistas/abril-2008/014.pdf